Целостные кольца. Вариации и обобщения

Пусть – произвольное кольцо. Как было показано ранее, для любого элемента выполняются равенства:

Отсюда следует, что нулевой – 0 и единичный – элементы являются различными элементами кольца.

Если для элемента в кольце существует обратный элемент , то он единственный, для которого выполняется условие .

Единичный элемент кольца является обратным для самого себя: .

Из равенства следует, что элемент также является обратным для самого себя.

Нулевой элемент 0 кольца не имеет обратного элемента, поскольку , для любого элемента .

Определение. Элемент , для которого в кольце существует, и притом только единственный, обратный элемент , называют обратимым или делителем единицы .

Кольцо целых чисел является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и –1 являются делителями единицы .

Теорема. Множество всех делителей единицы кольца является группой по умножению.

Доказательство. Действительно, если , т.е. являются делителями единицы кольца , то

и, следовательно,

А это означает, что и также являются делителями единицы и, следовательно, содержатся в множестве . Поэтому множество является группой по умножению.

Определение. Группа называется группой делителей единичного элемента кольца .

Так как для любого элемента выполняется равенство , то по определению делителей элементов кольца, каждый элемент является делителем нуля. В теории колец для произвольных элементов используют следующее определение делителей нуля.

Определение. Элементы называются делителями нуля, если , а ; при этом называют левым, а – правым делителем нуля.

Пример . 1. В кольце классов вычетов по mod m существуют делители нуля:

2. В кольце квадратных матриц второго порядка также существуют делители нуля:

Определение. Кольцом (областью) целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля.

Пример. 1. – кольцо целых чисел является кольцом целостности.

2. Кольцо является кольцом целостности в том и только в том случае, если – простое число.

Рассмотрим произвольное кольцо . Если , и , т.е. кольцо не содержит делителей нуля, то такое кольцо называется телом. Более строго.

Определение . Кольцо K , в котором для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называется телом.

Тело не содержит делителей нуля, т.е. если и – тело, то, если .

Это означает, что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению.

Более того, т.к. тело содержит единичный элемент и для каждого отличного от нуля элемента в теле существует обратный элемент, то элементы тела, отличные от нуля образуют группу по умножению.

Примеры . 1. Тело рациональных чисел . Действительно, если , где .

Важно, чтобы обратный элемент .

Для любого целого числа, например , обратный существует и равен , но он не принадлежит .

2. Тело вещественных чисел.

3. Тело комплексных чисел.

Кольцом целостности, с которым наиболее часто приходится встречаться, является кольцо целых чисел .

В теории колец особую роль играют кольца, которые по своим свойствам достаточно близки к кольцу целых чисел. В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов кольца целостности в существует такой элемент , что , то говорят, что элемент делится на , и пишут или делит – , или .

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы . Действительно, если – делитель единицы, то и – также делитель единицы, а это означает, что , тогда и, следовательно, .

6. Если делится на , то делится и на , где – любой делитель единицы.

Действительно, из равенства следует равенство и, следовательно, .

7. Каждый элемент из делителей и , где – любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства следует равенство , а из равенства – равенство . Следовательно, если , то , и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. ассоциированными , если каждый из них является делителем другого:

Из равенства (55) следует, что . Отсюда, сократив обе части полученного равенства на , получаем . Следовательно, и являются делителями единицы. Таким образом, если и – ассоциированные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы и ассоциированные между собой, поскольку .

Определение. Элементы кольца целостности называются ассоциированными , если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел ассоциированными являются пары чисел .

Если и ассоциированные элементы кольца целостности, то . Отсюда следует, что – главный идеал, порожденный элементом является подмножеством – главного идеала, порожденного элементом и наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента , кольца целостности порождают один и тот же главный идеал.

Пусть – произвольные элементы кольца целостности .

Определение. Элемент называется общим делителем элементов и , если каждый из этих элементов делится на .

По свойству 5 все делители единицы кольца целостности являются общими делителями элементов и . Но у элементов и могут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называют наибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисел и , а именно: НОД двух чисел и называется такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности .

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов кольца целостности называется такой элемент , обозначаемый символом и обладающий двумя свойствами:

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если – НОД элементов , то формально это записывается в виде или . Если также и , то элементы и делятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если , то, очевидно, , где – любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов определяется с точностью до сомножителя , который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с вводится дуальное понятие наименьшего общего кратного элементов кольца целостности определенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

В частности, полагая , получаем, что .

Теорема. Если для элементов кольца целостности существуют и . Тогда

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения . Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент , определенный равенством , обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из , следовательно , откуда после сокращения на , допустимого в любом кольце целостности , имеем , т.е. . Аналогично , т.е. . Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим . Положим . Тогда – общее кратное элементов и . Согласно свойству для некоторого , откуда , т.е. и , что и требовалось доказать.

Определение. Элементы кольца целостности называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД.

Пусть – произвольный делитель единицы, и – произвольный элемент кольца целостности . Тогда из условия следует, что . Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом , и все делители единицы являются делителями элемента . Их называют тривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от и , если такие существуют в , называются нетривиальными , или собственными делителями элемента .

Пример. В кольце целых чисел тривиальными делителями числа 10 являются числа и , а нетривиальными – числа и .

Определение. Элемент кольца целостности называется неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент называется разложимым, если его можно представить в виде произведения двух нетривиальных делителей ; элемент – называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел неразложимыми являются числа т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от , – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

· если элемент кольца целостности неразложимый, то и любой ассоциированный с ним элемент также неразложимый;

· если – произвольный элемент кольца целостности , а – неразложимый элемент из , то или делится на , или и – взаимно простые элементы из .

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД, то как делитель неразложимого элемента , является либо некоторым делителем единицы , либо элементом вида . В первом случае элементы и взаимно простые, во втором – делится на .

Определение. Кольцо целостности называется кольцом с однозначным разложением на простые множители (или факториальным кольцом), если любой элемент из можно представить в виде:

где обратный элемент, а – простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения

следует, что и при надлежащей нумерации элементов и будети, получаем из (41) равенство возможно. Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

Неассоциированность элементов 3 и очевидна. Далее, . Поэтому из разложения для или с необратимыми следовало бы , т.е. , что невозможно, поскольку уравнение с неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и .

Примеры

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b - элементы целостного кольца K . Говорят, что «a делит b » или «a - делитель b » (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что a x = b .

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c , то a делит c . Если a делит b и c , то a делит также их сумму b + c и разность b - c .

Для кольца K с единицей элементы , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы . Они и только они, обратимы в K . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными , если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e , где e - обратимый элемент.

Ненулевой элемент q , не являющийся единицей называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым , если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p - простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p ) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если A ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.
• Если A ― коммутативное кольцо с единицей и I ― некоторый идеал в A , то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост .
• Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела , а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы . Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Смотреть что такое "Целостное кольцо" в других словарях:

Кольцо - получить на Академике актуальный промокод на скидку Спортмаркет или выгодно кольцо купить с дисконтом на распродаже в Спортмаркет

То же, что область целостности … Математическая энциклопедия

- (названное по имени французского математика Этьена Безу) это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что колецо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно… … Википедия

В коммутативной алгебре кольцом частных S 1R кольца R (коммутативного с единицей) по мультипликативной системе называется пространство дробей с числителями из R и знаменателями из S с арифметическими операциями и отождествлениями, обычными для… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Кольцо. В абстрактной алгебре кольцо это один из наиболее часто встречающихся видов алгебраической структуры. Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых, вещественных,… … Википедия

Коммутативное локальное кольцо, для к рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного… … Математическая энциклопедия

Коммутативное целостное кольцо А, для к poro существует семейство дискретных нормировании поля частных Ккольца А, удовлетворяющее следующим условиям: а) для любого н для всех i, исключая, быть может, конечное число, б) для условие эквивалентно… … Математическая энциклопедия

Кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть kесть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и есть fc алгебра степенных рядов от с коэффициентами в k, сходящихся в нек… … Математическая энциклопедия

Коммутативное кольцо с единицей, любой простой идеал к рого является пересечением максимальных идеалов, его содержащих, т. е. кольцо, любое целостное факторкольцо к рого имеет нулевой Джекобсона радикал. Напр., любое артиново кольцо, кольцо целых … Математическая энциклопедия

Целостное кольцо, коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в нек ром поле, является О. ц. Обратно, любая О. ц. может быть вложена в нек рое поле. Такое вложение дает… … Математическая энциклопедия

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0≠1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0≠1… … Википедия

Область целостности (или целостное кольцо , или область цельности ) -- понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0?1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0?1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентное определение: область целостности -- это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

· Простейший пример области целостности -- кольцо целых чисел.

· Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.

· Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.

· Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля, а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + bi , где a и b целые (множество Гауссовых целых).

· Пусть U -- связное открытое подмножество комплексной плоскости. Тогда кольцо H (U ) всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.

· Если K -- коммутативное кольцо, а I -- идеал в K , то факторкольцо K / I целостное тогда и только тогда, когда I -- простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b -- элементы целостного кольца K . Говорят, что «a делит b » или «a -- делитель b » (и пишут), если и только если существует элемент такой, что ax = b .

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c , то a делит c . Если a делит b и c , то a делит также их сумму b + c и разность b - c .

Для кольца K с единицей элементы, которые делят 1, называются делителями единицы , а иногда и просто единицами . Они и только они, обратимы в K . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными , если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e , где e -- обратимый элемент.

Необратимый элемент q целостного кольца называется неприводимым , если его нельзя разложить в произведение двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым , если из того, что, следует или. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p -- простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p ) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

· Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.

Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.

· Если A Ї область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.

· Если A Ї коммутативное кольцо с единицей и I Ї некоторый идеал в A , то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост.

· Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.

· Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.

· Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Пусть K – некоторое коммутативное кольцо.

Определение. Стандартным многочленом (или полиномом) степени от переменной x над коммутативным кольцом K называется выражение вида

где
.

Элементы называются коэффициентами многочлена. Все они, или часть из них, могут быть нулевыми.

Каноническая форма многочлена (23) определяется следующим образом.

Находим наибольшее , такое, что
, скажем
и запишем

Степенью многочлена
называется число
, если оно существует. Если же всеобращаются в нуль, то канонической формой многочлена является 0, а его степень –
. Степень
обозначается
.

Пусть
и
- два многочлена.

В зависимости от того, какому из множеств принадлежат коэффициенты , различаются следующие типы многочленов:

Лемма . Многочлены
и
равны тогда и только тогда, когда

, при которых
определены, а все остальные
, равны нулю.

Пусть имеется два многочлена
степени
и
степени
.

Определение . Суммой многочленов
и
называется многочлен

где
и

(26)

Определение. Произведением двух многочленов
и
называется многочлен

где
.

Пример . Пусть заданы два многочлена с булевыми коэффициентами т.е.
.

Суммой многочленов
является многочлен
вида:

а произведением – многочлен
:

Можно показать, что введенная операция умножения многочленов ассоциативна, следовательно многочлены образуют по операции умножения полугруппу, и эта полугруппа коммутативна.

Вывод . Многочлены с целочисленными коэффициентами образуют коммутативное кольцо. Можно показать, что многочлены с рациональными, вещественными и комплексными коэффициентами также образуют соответствующие кольца многочленов. В общем случае говорят о «кольцах многочленов
над кольцом
.

3. Кольцо целостности.

Пусть
– произвольное кольцо. Как было показано ранее, для любого элемента
выполняются равенства:

Отсюда следует, что нулевой – 0 и единичный – элементы являются различными элементами кольца.

Если для элемента
в кольце
существует обратный элемент
, то он единственный, для которого выполняется условие
.

Единичный элемент кольца
является обратным для самого себя:.

Из равенства
следует, что элемент
также являетсяобратным для самого себя.

Нулевой элемент 0 кольца
не имеет обратного элемента, поскольку , для любого элемента
.

Определение. Элемент
, для которого в кольце
существует, и притом только единственный, обратный элемент
, называют обратимым или делителем единицы .

Кольцо целых чисел
является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и –1 являются делителями единицы
.

Теорема. Множество
всех делителей единицыкольца

Доказательство. Действительно, если
, т.е. являются делителями единицы кольца
, то

и, следовательно,

А это означает, что
и
также являются делителями единицыи, следовательно, содержатся в множестве
. Поэтому множество
является группой по умножению.

Определение. Группа
называется группой делителей единичного элементакольца
.

Так как для любого элемента
выполняется равенство
, то по определению делителей элементов кольца, каждый элемент является делителем нуля. В теории колец для произвольных элементов
используют следующее определение делителей нуля.

Определение. Элементы
называются делителями нуля, если
, а
; при этомназывают левым, а– правым делителем нуля.

Пример . 1. В кольце классов вычетов по mod m существуют делители нуля:

:
,

:
.

2. В кольце квадратных матриц второго порядка также существуют делители нуля:

пусть

,

тогда
.

Определение. Кольцом (областью) целостности называется коммутативное кольцо без делителей нуля.

Пример. 1.
– кольцо целых чисел является кольцом целостности.

2. Кольцо
является кольцом целостности в том и только в том случае, если
– простое число.

Рассмотрим произвольное кольцо
. Если, и
, т.е. кольцо не содержит делителей нуля, то такое кольцо называется телом. Более строго.

Определение . Кольцо K , в котором для всех отличных от нуля элементов существуют обратные, называется телом.

Тело не содержит делителей нуля, т.е. если
и
– тело, то, если.

Это означает, что отличные от нуля элементы тела образуют полугруппу по умножению.

Более того, т.к. тело содержит единичный элемент и для каждого отличного от нуля элемента в теле существует обратный элемент, то элементы тела, отличные от нуля образуют группу по умножению.

Примеры . 1. Тело рациональных чисел
. Действительно, если
, где
.

Важно, чтобы обратный элемент
.

Для любого целого числа, например
, обратный элемент существует и равен, но он не принадлежит.

2. Тело вещественных чисел.

3. Тело комплексных чисел.

Кольцом целостности, с которым наиболее часто приходится встречаться, является кольцо целых чисел
.

В теории колец особую роль играют кольца, которые по своим свойствам достаточно близки к кольцу целых чисел. В частности, для этих колец можно развить теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Эти кольца получили название колец главных идеалов. Пусть – кольцо целостности с единицей – коммутативное кольцо без делителей нуля, в котором понятие правого и левого делителя элемента совпадают. Определение делимости элементов этого кольца можно сформулировать так:

Определение. Если для элементов
кольца целостности всуществует такой элемент, что
, то говорят, что элемент делится на, и пишут
илиделит–, или
.

Из определения делимости двух элементов вытекают следующие свойства делимости в кольце целостности:

Эти свойства являются распространением на кольцо целостности соответствующих свойств делимости в кольце целых чисел.

5. Каждый элемент
делится на любой делительединицы
. Действительно, если– делитель единицы, то и– также делитель единицы, а это означает, что
, тогда
и, следовательно,
.

6. Если
делится на
, тоделится и на
, где– любой делитель единицы.

Действительно, из равенства
следует равенство
и, следовательно,
.

7. Каждый элемент из делителей и
, где– любой делитель единицы, является делителем и другого.

Действительно, из равенства
следует равенство
, а из равенства
– равенство
. Следовательно, если
, то
, и наоборот.

В дальнейшем будем рассматривать элементы кольца целостности , отличные от нуля.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываютсяассоциированными , если каждый из них является делителем другого:

. (55)

Из равенства (55) следует, что
. Отсюда, сократив обе части полученного равенства на
, получаем
. Следовательно,иявляются делителями единицы. Таким образом, еслии– ассоциированные элементы, то
, где– некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы
, элементыи
ассоциированные между собой, поскольку
.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываютсяассоциированными , если
, где– некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце целых чисел
ассоциированными являются пары чисел
.

Если иассоциированные элементы кольца целостности, то
. Отсюда следует, что
– главный идеал, порожденный элементомявляется подмножеством
– главного идеала, порожденного элементоми наоборот:

Это означает, что два ассоциированных элемента
, кольца целостностипорождают один и тот же главный идеал.

Пусть
– произвольные элементы кольца целостности.

Определение. Элемент
называется общим делителем элементови, если каждый из этих элементов делится на.

По свойству 5 все делители единицы
кольца целостностиявляются общими делителями элементови. Но у элементовимогут быть и другие общие делители. Введем понятие наибольшего общего делителя (НОД) этих элементов. Определение НОД двух целых чисел, по которому НОД называютнаибольший из общих делителей, распространить на кольцо целостности нельзя, т.к. в произвольном кольце целостности нет отношения порядка. Однако можно ввести и другое определение НОД двух чисели, а именно: НОД двух чиселиназывается такой общий делитель этих чисел, который делится на любой другой их общий делитель. Именно это определение НОД и распространяется на элементы кольца целостности.

Определение. Наибольшим общим делителем двух элементов
кольца целостностиназывается такой элемент
, обозначаемый символом
и обладающий двумя свойствами:

Замечание. Ясно, что вместе с свойствами 1., 2. Обладает любой ассоциированный с ним элемент. Действительно, если– НОД элементов
, то формально это записывается в виде
или
. Если также и
, то элементыиделятся друг на друга и, следовательно, являются ассоциированными. С другой стороны, если
, то, очевидно,
, где– любой делитель единицы. Таким образом НОД элементов
определяется с точностью до сомножителя, который является делителем единицы.

С учетом этого замечания к свойствам 1., 2. Наибольшего общего делителя добавляются следующие:

Свойство 6. позволяет распространить понятие НОД на произвольное конечное число элементов кольца целостности .

По аналогии с
вводится дуальное понятиенаименьшего общего кратного
элементов
кольца целостностиопределенного с точностью до ассоциированности и обладающее также двумя свойствами:

;

.

В частности, полагая
, получаем, что
.

Теорема. Если для элементов
кольца целостностисуществуют
и
. Тогда

б)

,

.

Доказательство. Утверждение а) вытекает непосредственно из определения
. Для доказательства б) необходимо убедиться, что элемент, определенный равенством
, обладает свойствами 1., 2. НОД. Действительно, из, следовательно
, откуда после сокращения на, допустимого в любом кольце целостности, имеем
, т.е.. Аналогично, т.е.. Этим доказано свойство 1. Для доказательства свойства 2. Представим
. Положим
. Тогда
– общее кратное элементови. Согласно свойству
для некоторого
, откуда, т.е.
и, что и требовалось доказать.

Определение. Элементы
кольца целостностиназываются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если НОД
.

Пусть – произвольный делитель единицы, и
– произвольный элемент кольца целостности. Тогда из условия
следует, что
. Это означает, что все элементы ассоциированные с элементом, и все делители единицы являются делителями элемента
. Их называюттривиальными или несобственными делителями элемента . Все делители отличные от
и, если такие существуют в, называютсянетривиальными , или собственными делителями элемента
.

Пример. В кольце целых чисел
тривиальными делителями числа 10 являются числа
и
, а нетривиальными – числа
и
.

Определение. Элемент
кольца целостностиназывается неразложимым, или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент
называется разложимым, или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Другими словами, элемент
называется разложимым, если его можно представить в виде произведения
двух нетривиальных делителей
; элемент
– называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения двух нетривиальных делителей.

Пример. В кольце целых чисел
неразложимыми являются числа
т.е. простые числа и противоположные простым. Все остальные числа отличные от
, – разложимы.

Неразложимые элементы обладают следующими свойствами:

Действительно, первое свойство следует непосредственно из свойства 7 делимости элементов кольца целостности. Второе свойство докажем следующим образом. Если НОД
, токак делитель неразложимого элемента, является либо некоторым делителем единицы, либо элементом вида
. В первом случае элементыивзаимно простые, во втором –делится на.

Определение. Кольцо целостности называется кольцом с однозначным разложением на простые множители (или факториальным кольцом), если любой элемент
изможно представить в виде:

, (46)

где обратный элемент, а
– простые элементы (не обязательно попарно различные), причем из существования другого такого разложения

следует, что
и при надлежащей нумерации элементовибудет

,
,…,
,

где
– обратные элементы в. Допуская в разложении (46)
, мы принимаем соглашение, что обратимые элементыв кольце целостноститакже имеют разложение на простые множители. Ясно, что если– простой, аобратный элемент в, то ассоциированный сэлемент
тоже простой.

Пример. В кольце целых чисел
с обратимыми элементамии
отношение порядка
дает возможность выделитьположительное простое число из двух возможных простых элементов
.

Теорема. Пусть – произвольное кольцо целостности с разложением на простые множители. Однозначность разложения в(факториальность) имеет место тогда и только тогда, когда любой простой элемент
, делящий произведение
, делит по крайней мере один из сомножителейили.

Доказательство. Пусть
. Если

разложения
на простые множители, а– кольцо с однозначным разложением, то из равенств
следует, что элементассоциирован с одним изили, т.е.делитили.

Обратно, установим однозначность разложения в , где
или. Рассуждая по индукции, допустим, что разложение всех элементов изс числом
простых множителей единственно (с точностью до порядка сомножителей и их ассоциированности).

Докажем теперь это для любого элемента
, который может быть разложен на
простых сомножителей. Именно, пусть

(47)

– два разложения элемента с
.

Условие теоремы, примененное к
дает нам, что
должен делить один из элементов
. Без ограничения общности (это вопрос нумерации) будем считать, что
. Но
– простой элемент, поэтому
, где – обратимый элемент. Используя закон сокращения в , получаем из (41) равенство

. (48)

В левой части равенства (42) стоит произведение простых сомножителей. По предположению индукции
и оба разложения отличаются лишь порядком простых элементов, снабженных, возможно, какими–то обратимыми сомножителями.

Замечание. В произвольном кольце целостности элемент
вообще не обязан допускать разложение типа (40). Более интересным является тот факт, что имеются кольца целостности, в которых разложение на простые множители хотя и возможно, но не является однозначным, т.е. условия теоремы, кажущиеся тривиальными не всегда выполняются.

Пример. Рассмотрим кольцо целостности
, где.

Норма
каждого отличного от нуля элемента
– целое положительное число. Если элементобратим в, то
, откуда
. Это возможно лишь при
. Таким образом в , как и в 1, обратимыми элементами являются только
. Если, то. Так как
, то при заданномчисло множителейне может неограниченно расти. Следовательно, разложение на простые множители ввозможно. Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два существенно различных разложения на простые множители:

Неассоциированность элементов 3 и
очевидна. Далее,
. Поэтому из разложения
для
или
с необратимыми
следовало бы, т.е.
, что невозможно, поскольку уравнение
с
неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и
.